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ハコから飛び出たピザの面積

2018年4月24日 塾長からの挑戦状

円の面積の求め方を知っていれば小学生でも解けますが,ちょっと工夫が必要です。三平方の定理を知っていれば,機械的に解くこともできますね。

こたえは下

【解法1】

円の面積を出せと言われたら,「半径」か「半径×半径」を求めることになります。ですので,補助線を引くなら円の中心と円周上の特徴的な点を結んで半径を作るか,円に内接する正方形の面積から「対角線×対角線」を考えるのがセオリーです。

上の図のように円周上の4点を結ぶと円の内部に小さい正方形ができます。この小さい正方形の面積は,元の正方形の面積から4すみの直角三角形4つの面積を引いたものになるので,

小さい正方形の面積=6×6-4×2÷2×4=20(㎠)

正方形の面積は「対角線×対角線÷2」でも求められるので,小さい正方形の対角線×対角線は40ということになります。また,小さい正方形の対角線は円の直径でもあるので,直径×直径も40になります。ということは,半径×半径は10(20ではありませんよ)になりますね。よって求める円の面積は

半径×半径×円周率=10×3.14=31.4(㎠)

となります。

この問題の教訓は,

①正方形の面積は「対角線×対角線÷2」でも求められる

②上の公式は特に円と相性が良い

の2点です。ぜひ覚えておいて下さい。

【解法2】

次は三平方の定理を使ってみましょう。

上の図のように,円の中心O,円と正方形の交点P,Qを結び,三角形OPQを作ります。三角形OPQはOP=OQの二等辺三角形になりますから,OからPQに垂線を引き,PQとの交点をHとすると,HはPQの中点になりますので,PHの長さは1です。また,OHの長さは正方形の1辺の半分の3になります。

このとき,直角三角形OPHで三平方の定理を使うと,OPの二乗,つまり半径の二乗がPHの二乗+OHの二乗であることが分かります。いま,PH=1,OH=3ですので,

半径の二乗=1×1+3×3=10

と分かります。あとは解法1と同じです。

やはりこうやって比べると,解法2は機械的というか,特に工夫もなく普通に解けてしまいますね。先人の知恵をより多く拝借しているので,当たり前と言えばそうなんですが。う~ん,数学って便利!