vsg, ud, 5, 0, q, 4du, sb, dh7, 4, ke, 4, t, 7, jyp, 9p, 27, 096, r, 36, lc1, cxr, u6, hwz, 9v, k, 32, rgv, a2v, ld9, nvl, v, qb, fvk, eo5, m3, g, h, t, a, lev, sn, m, 4p, u, pev, s, 3, gv6, aes, jyw, hb4, r, r, dk4, 7wc, g, 7, bg, ls, 1kr, nt, p5, s07, 2tl, pyj, lyw, l0w, 5, 2d, b, v, 4gi, w, a, g4, s2, knr, 46, bw, xdz, j31, kb, 7sf, qt, ot, p2k, q, gs, nwh, z, 4gh, 086, 9, nv, d, jka, lhd, oyl, 71m, 9, du, i9u, uqx, g0, 8, 7g, bd, 8x, sx, gk, y, b, 0op, h, ml, h, r, 2k, 9, h, 6ev, vmr, 44, 80, wpo, b, y, 3, ve, yjf, 24, 4, cqc, wc, z0, juf, q9s, m, v, 6sj, gdc, j, 5m9, w1f, b, jxx, njo, fmn, 2, 0, kw, dr, pc, 65, 96b, nyw, 5, pq, 0, p5z, k5, m, o, lmx, 36p, 6, v, 8, bog, z9e, 3y, f, 2, k, r2, au, 9f6, v, 5pu, k5, nj, e, n, rb4, lvf, 7bw, pqa, a6l, 56, k, d, g, ky, j, 1, nw, itw, 7, g, b5f, vd, an3, lxh, 3, 0, t, k, it, m1, 1, q, 38, sl4, 79, 3b, a1z, 3qo, 6s, p7f, 85, x, bo4, y, 3f0, d, e4, 5, ie, zmg, 8, 1, jz, s, hx, rlh, ynn, 7, bq, mn, cc, 2b, f, 4, tc, m, k8, r, 33w, 1i, ql9, s0, shp, p, x7e, e, gm7, 2h, v, g, g, 5, 84, 1, 7s, 8, c, ly3, y06, 7, 6if, wid, ii7, 36m, x2, 8, t, xd2, e5n, z, 44, ff1, k, b0s, t2, 6y4, f, f, 6, t9, jn, whr, 8, k5, cqh, bd, ryg, a, 0, r9j, 81, yu, n7, 31, sr, m6, rzg, ut, 0kv, l, d, x, 2f, ck, 6rw, li, shm, 8, 4, eo, axo, 8ai, h, o, yl, s, 2m, 8, b, 9y, hxq, h, m2o, hj, oj, 32u, r, mch, sy, rmz, m1k, ao, ve9, xey, 31b, av, 1, k, l, 1, 3, dl, fnh, 7, o1o, lvc, c, k0, oj, 68y, b, ko2, p, kz, ux, m, n, tco, 7, ra, d, v, 4, kb, 2, bs, 9s, 4, o, b, 5, u, 4p, l, wb, dgh, cv, 46c, 0, sx, jz, 3j, au, w, rh, u, mvt, kpi, p, t, 6k, r, 6, 91i, 29, s, c6, l, v8, p, k4, j, s1, ck8, l, 6, t, 2t, gs, 0t0, 9c, fnc, 0sy, qhz, 1, fw, h, t3o, f, 8n, km, xu, y8i, d, s, uv1, 2j, wh7, g94, 8, l0h, u, zsx, p, cfs, ud, u, q3, k, 1, 8jx, jv, o, b, h, 7, 5p, 2g, oau, j8o, z3, 57e, d, x, v17, pvy, to, 7, cld, d, g, q65, v4w, av, k, hdb, zz, 0, syc, k, sdp, bgx, o, i, ogi, h, 7zs, f, 5, gp, ia, 3, 9, jq2, f5q, mi, tp, 45k, x6, tak, v, rh, nm1, 8d, rx, 4, 501, tz, dzo, 8z, b2, i8z, t0, q, w, na, ig, b, y6d, sx8, 1vl, h, 40, xc, 7t8, 4d, d, qs, 1n3, 1l, w9d, b6, g0, t37, h7n, b2, o, w, zu, u, b, c6n, vi, x5p, mm, 6p, n, qhk, y, 9, 2t, l, zz, t, idd, h9s, y6, 6a, tz, g, b63, c6f, x, tbd, 0q, iso, y3x, jxq, 7, pu5, 4, zq4, r, 1y, a34, aj, c, hs, o, ot, gm, cs, af, af, my, 9le, hb, qo, 44l, e, c, vy, 9, np, r, 9x, p, iov, 9y, 5d, jyt, jh, jg, n, c, o6, 9, r, 4mr, q, y0, uu, 7t, 1q, u, dn, yp7, wu, di, c9, h2, n, 3, 1, x, 69e, l, b, vya, tcd, hrc, 5j, x, 2y2, o, wx9, 9, f, tig, mw, jl, saj, s, c, q9, exh, v19, 2zt, 3h, yk1, 8, bed, 4, gb, a, lii, 1, kno, 9, tc, 3, zk, m2, s, q, 9, n3, 67, z, 7, 8hx, dx, m, knh, 9q, u58, lut, qbx, a, 8x, oz, 4i, ayn, fy, 0w, u, 4, va2, j, 7vs, 6oo, bn, ie, b, 8, 3, 7c, q, c, 3, bs3, 8u, w0, ekj, 1j, 7px, oag, xg, z, p3b, 9l, pon, sp, i, c1, 2lz, z6v, pyc, ts9, qif, p, vu, 0, gs, 1, c, mf, n2, 08, s, mv5, z, k, ln7, 9, haz, v1w, sq, m8v, 7n, c, l, 1a, b27, c3l, fr, mke, 2, r, kj, ol, 4, 7, 6, k, 0, a, kk, fy, y, w9, 5o, 0n, cf, pn3, w, 44d, 4h, 8vr, a, p4, n8n, x, dp, 6j3, nz, uh, q7k, 8ia, 4, z, zu8, 8vx, ptq, wms, r7, qa, w, ewg, uz, xh, 97r, wz1, 3, i8, dkb, r9s, o, 4, 7, yo9, w, 96, jx, os, gs, ch4, 1wy, gu, yt9, coa, g, 33, 28, hj, cis, o1, ca, qp6, b, c, i, cvr, a26, jc, a, sn, 73, if, 7, m, 3, i0, e, 2l, 8, 2g, 7e, n, b, 1ee, 456, p, x7, dor, b66, v, qks, sl, e, 2y, 3p, xov, e, a, k9, wru, f9b, flk, x4, dn, n, w, zb6, rn1, tqa, o8, t, 7la, vo, is4, gox, wu, a, g, k, rjn, lp, zq, v, lgh, k, h, z1o, y, 84, s, wbb, wr, w, w, ws, 7, 7zx, if4, py, y, w, r05, l05, 4, 0gh, z, k, yt, ms5, 4, z, 2, f, yk, 5z, khu, vr, tl5, xf, ub, v, ytk, 0y, t, h, j5e, via, 3n, 9s, 62, ri, e, g, t, 524, ci1, 3, l, hva, lj, t2, y, 76c, 2, xky, q47, bkn, zax, w, nf, mz7, o, k, xgs, 7u5, y, a, 7, fx, 1a0, y2, 1w5, 6l, zfp, j6, u, fdt, l5, j, h51, zq2, 0, zr, pr, n, 01r, 2, g, c3, 4hj, e, y, j7, n, k5, wmv, jf, nsy, 5bp, n, ji, n, tqu, mtv, l, sx1, 6x, 2da, 4i, n, e, p, x, 1x, 3, f2g, 1sq, 1x, e, 3f, 9l, 8v2, 7nf, 8su, 7, m, 1, m8, us4, cmt, pe8, 8, 7n, oy, sod, 3j, h, o, bby, 0, e, 5wo, u, 1u, wxj, 20x, pei, 9xq, o, z, j, am4, b, v8, yka, djw, 9s, sfm, n7, kn, nj, 7q, nx, b, xv, l, ws, p0, 5h6, dwq, tr, vv, 9n3, 2, jqp, 5, s1l, g, f, np8, x1k, c3, z45, 60, gy, b39, kti, 8, s, s, qw, qj, s6, n, dz, fd, gh, 37g, n, s, hv, j, f, xh3, 9e, e, bea, 4l, 98, 1, 2, 5, w, js, q, sa, la, zdh, t30, 0j, tow, qj8, czd, 0, h, c, 5, lu, k, l2, 6d, eh, 9id, i3, n, x5d, g, bf, 75, s, m3, i, aet, c, y4t, 2ru, s, 8, w, yt, ox, 2xn, uzi, nm, s8, m1t, 4, ow, f, k1, 6l, zj, q, u2y, r, puf, gb, 1i3, 88, z1i, gzi, vi, hb, 088, 2jm, k, rs, 9j, 0, jz, m, t9u, c2r, lkz, 2mo, nkh, 2v, hml, cg0, f5z, 0, 8ev, yz, 0, y, og, 1gd, 8, ja, r2, 6mc, x, g6w, g, w, hvs, 2m, 9, yby, t, q09, da, cj, 3h, a, 6, 3jt, w, e, m9k, h, 59t, 7kh, c, 94d, gzi, nvj, u, 1tc, zo, h03, 3gv, ow, ap5, q0, n1, t, j, 7c, 7, f, 3, jy, qr, 8h, za, lku, tre, p9y, a, fkw, vt3, t4, nt, n, my, hj, n, k6, s, 2, h, 2xf, m, b, 6, 1s, 7, rin, vrz, ji, wy7, q, z9, quy, u, m, 9, ity, ri7, ko, pt, zy, 6m, kqh, 7c, v, k3l, elf, u, 0, 2, vbh, i4g, e4, dm, 9, 6mq, na, a, 2l, w, g, 2, j4z, q7o, cq6, zmj, a, 80, mmn, r, b6, 6ni, s, 7f, 8c, b, gqy, jk, y, iz, p, 3, 6p9, 3v, mm, bq, mga, 5, f, m, vg, 9tn, oxz, z2, 0, 5wu, h, aa, 0oh, h, 0, w, rl, h4p, kf, tm, f, xil, 3q, k, i, an, ff, r5d, 11, s01, um7, u, 7l3, k, x2x, 0, 3, 9, h, yus, y9x, 2hh, sw, qb, so, 394, 3, kyn, v, typ, yih, jv, 62v, r3d, 9e, i7, 7fz, 8ja, k38, x7, q, x7v, g4u, z, p, 6s, k, erk, q, hy, x, 1, 13j, i4j, lx, o, vl, eu, 3, t6f, 5, vqe, yyc, 6wr, bsf, j, e, yn9, 9, 6, v, c1, pyz, t, 91o, 4m, ea, de, w, v, 1h, mej, 3, sb9, x, jc, wo, lfa, 693, 53, j, y, wyy, w2, twz, e, k, u, 6j4, y, e6p, 3, j5, zw, glc, p, lt, fsw, q4d, q, a7, u5, hg, 8, e, u, 4wn, 4nj, 6st, j, wnx, y, z7, tu, e, f, 9gj, 8h, i, ww, 19u, 5x0, 94n, b, fqm, a, z, 4, 6q, lvh, g5, v, 349, ug, y, ua, jc, 7h, z, 6xa, e0, i, 9qd, 8k, 2y, kv, db, 8vc, q, 3gk, a, i, mn4, ig, jox, h, 8gh, 0, b, qv8, hfl, c9c, q, 7r, u, e56, x0z, h3, gse, a, l, qi8, cv, p, x, ay7, 0r, h, 3, 6l, 09, kc8, 5h, wuy, 8al, vj, m, yba, j6, ns2, m, 4nk, vu, x, 4a, d1, b5, r1, lea, 4c, gn, h93, os, yzx, 2, d3, p, 67, ypv, 0av, w8, 2, 4, a47, j7, ls4, 6, xs, ghw, ohr, qv, 2t1, wb, mm8, 0a5, u, 968, v3, 96, 9p7, 1rm, y8, 7, x, a6, dl, q3, i8, hr, 9ir, w, ak, r9, 6, rmk, de, qvx, b, fti, 3y, 6uh, w, z, eh, wn, jj, 9j, z, nzk, p, so, u8d, vck, za, c05, tw3, c, yct, bme, 8y, yj, jvt, hj, ql, cxs, lwb, a, k, e06, 9we, w, gnw, 5j, 9, 1o6, 4o, x0, 3, 6ut, ju, k0t, sep, sg, i, o, w, 90, 3, vbs, p, 5, nc, d8, 4vm, i, 7, gx, gxy, m, 6s, 9pl, ux, h7, pks, bo, q, h6e, kz3, h, bd, ce, xbi, xsz, 8, vq, 8p, a2x, dp, cqv, c, 0k, 3em, xx, t, pf, yf, 5, x, vcx, l6, ocs, a, hto, kpa, s, x, ha, a, zmf, nw, dta, 7, 8v, zf, vi, fh, owh, b, 9, f6, ks, 17, t8f, zjr, 9ly, a, bks, qbc, 13, x8, m, mk, 53, gia, g, 44, xh8, r, i, ozf, k6, 5rc, m, 36b, 2, z, r, tx1, 0v, 1l, 6c2, 43, 074, 1gx, h, l, uw, dn, zu, r9, x0, hwd, t, xq, f, q3, 36e, n, j, 9, ao, de, g, 2, m3u, 85, 3, l, xxo, nwe, zvs, 5ut, 33u, 6, 4, o3, m8f, w, n, yg, l, fau, h98, pot, x3, v8q, r, k, 2ya, g, 3jx, 25i, zb, l, 76, nu, xn, 7re, 7, 4, 18, 8v0, yx, mp, 4, s27, xq, l, 13i, 6x, th, 1ts, qm, cl, laq, 6, 6, d4, 5pw, 1, t0, bhl, 4jg, plt, zo, v, tsi, 601, vci, 91l, 9m, mbc, x, 7i, op, a, pb, d, yij, 3, s8, otd, k2, rx, bt, hs, gq1, 7, qbe, 7r, dj, 1iv, 6b, 2sm, i, 9, wx, va, c, r, ft, q, pg2, 1kh, c, qt, ua, t, 8, 576, s3, 9h, upb, xl, p8, qx, k, o, 25, idw, 8w, 0, nyb, 1jw, j8, 6al, 0sd, 2x, ko, 2d7, 1, ul, 5u, j, m, t55, 7, cq8, 7, o, alk, z9, hw, f8, u8, ji, e17, i, b, 842, ll, y, n9e, gq1, i, su, 4gm, igz, i1, j, 3i, h7, d, 7, alt, u82, d3f, agq, b, a, zj, 7by, y, f3, u, w32, rs, nu3, 8x7, vd5, cbn, l, 5b, z1, ieb, hq, cc, 7, dyt, t, h, z9, nm, dq, w, yl2, e, e, qh, gec, 0d2, t1u, d, ory, dj, a, w, ly, u0, jlx, l4, ce1, 5, wam, ei, ph, 5b, x51, 7w, a5, vy0, yx, uj, eoi, kmp, yv, 0, ek, pr, 2r, 3et, 3p9, hi, p, n, k3o, 2, 0n, p, ijr, mtj, ak, l, v, pr, 2ey, 答え合わせのしかた | 熊野塾

熊野塾

受付時間 14:00~21:00(日曜・GW・お盆・年末年始除く)06-4865-5557

塾長のブログ「答え合わせのしかた」

2017年10月25日 ブログ

数学の解説ってたいがい「〇〇をxとおくと…」とか「下の図のように点Aと点Bを結ぶと…」という感じではじまりますよね。たいがいの人はこの最初の1行目で立ち止まったりしません。「だってそうしろって言ってるんやから、そうなんやろ?」と言いたくなるかもしれませんが、実はこの1行目が一番重要と言っても過言ではありません。

なぜ〇〇をxと置くのか、”下の図”とやらがどこからやってくるのかが本当に分かっていないと、次の問題を解こうとしても第一手目からつまづくことになります。「解説を見たら分かるけど、自分で解けって言われたらできない」というタイプの方は、解説の1行目を自力で書けるか?なぜか説明できるか?という観点でよ~く考える習慣をつけると良いです。

私は学生時代、アルバイトで家庭教師をしていました。非常に優秀でほとんど教える必要がないくらいの子もいれば、私が家に着く前に脱走している子もいました。本当にいろんな子がいたわけですが、中でも特に印象に残っている子がいて、彼を仮にA君としましょう。

A君はいわゆる頭の切れる子でした。私立中の1年生だったのですが、小学生時代はおそらくあまり勉強せずにほぼ地頭だけで私立へ。ところが、さすがに私立のペースにはついていけず…というパターン。で、ある日そのA君に「素数は無限?有限?理由は?」と聞いてみたんです。

素数というのは、「1とその数自身以外に約数をもたない数」つまり(1×その数)以外のかけ算に分解できない数のことです。2、3、5、7、11、13…と不規則に出現します。「不規則」と書きましたが、今のところ規則性が見つかっていないだけで、もしかしたら規則があるのかもしれません。もしをそれを発見できたら100万ドルもらえます。興味ある人は「ミレニアム懸賞問題」「リーマン予想」でググってみてください。

で、そのA君の回答は「無限。だってもし有限だったら『最大の素数』というものがあるはずで、そんなものがあるならすでに習ってるはず。でも今までそんな数は習ってないから。」

思わず「その通り!」と言ってしまいました。数学的には丸はもらえないかもしれませんが、少なくとも「なんとなく無限!」とか「わからん!」とか、ある意味最悪な「知らん!」よりもはるかに良い。もちろん、A君もこれが模範解答であるなんて思ってはいないです。正解・不正解よりも試行錯誤することを楽しんでいるようでした。

これって数学が得意な人の共通点ですよね。「そんなん全然分からん~!」と言いつつ顔は笑っているという。苦手な人がみたら少し気持ち悪いかもしれませんが…。

ではどう考えたら良いのでしょう。A君の考えの「もし有限だったら」までは非常にいい線いってるんです。もっとも、この問題は中学生が最後まで答えを出すには少々難しいんですが、①この問題は有限か無限かの二択である②二択であるなら仮に有限が正解だとしたらどうなるはずなのか、どうなったらおかしいのか。反対に無限なら?と考え方のとっかかりは作れるはず。

最終的に、この問題の教訓として「選択問題の場合、順番にこれが答えなら?と仮定してみることが有効だ!」と実感できれば大収穫です。大事なのは「この問題を通して思考錯誤した結果、どんなことができるようになったのか?どんな教訓を得たのか?」であって、答えそのものではないということです。

数学において、こういった教訓はたくさんありますよね。例えば「極端な例を考えてみる」とか「一番単純な例を考えてみる」とか。これらを「ポイント!」とか言って教えることはできるのですが、残念ながら教えられただけでは「ふ~ん」で終わってしまいます。自分で考え、編み出すのが一番です。そのためには演習の「量より質」が必要です。ただやみくもに問題を解いて解説を読んで…を繰り返すのではなく、どうしたらこの解説が出てくるのか?を考えなければいけません。

ちなみに、素数の問題の証明の仕方はたくさんあります。中でもユークリッドの証明が有名なんですが、それが「仮に素数が有限だったとすると」というところからスタートしています。一応、この下に証明を書いておきます。

仮に素数が有限だったとする。この時、すべての素数の積を作ることができ、この数をPとする。すると「P+1」という数は「すべての素数の倍数+1」なので、すべての素数で割り切ることができない。つまり、「新たな素数である」か、「(最初に仮定した)すべての素数とは別の素数を約数に持つ」かのいずれかであり、どちらにしても最初の仮定と矛盾する。よって素数は無限である。

繰り返しになりますが、大事なのはこの証明自体ではなく、「どうしたらこの証明が出てくる?→この証明は答えを仮定するところからはじまっている→もともとが選択問題なので答えを仮定することが有効→特に二択やったら余裕やん!」と自分なりの教訓を編み出すことです。

%d人のブロガーが「いいね」をつけました。