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塾長のブログ「図形の証明問題」

2017年11月2日 ブログ

中2で学習する単元、「図形の証明」って苦手な人が多いですよね。数学って苦手な人と得意な人の差が出やすい教科なんですが、図形の証明は特に差が開く単元だと感じます。「何が分からないのかすら分からない」という人から「こんなん答え書いてあるのに、何が難しいん?」という人まで。数学において、証明問題ってかなり根っこの部分をおさえていると思うんです。実際、証明が得意な人はもれなく数学が得意です。

苦手な人は、そもそも証明するということがどういうことか分かっていません。思うに、「証明する」という言葉の印象につられてるのかなと思います。日常会話において「証明する」と言った場合、「実際にやってみる」という意味で使うことが多いですよね。例えば「おれだって100点取れることを証明してやる!」と言った場合、それは次のテストで実際に100点を取ってみせることを意味します。

要するに「結果を示す」ということなんです。この「結果」ばかりに気をとられていると、数学においての証明問題では何をしていいのか分からなくなります。「この長さとこの長さが等しいことを証明しなさい」と言われても、それだけではどうしようもないのに、その結論の部分ばっかり考えるわけです。そして「どうやったらこの長さが等しくなるの?」とか考えだします。ところが、この「どうやったら」の部分は「仮定」として示されているので、そもそも考えるところではないんですね。で、そのうち自分が何を考えているのかも分からなくなっていきます。

証明問題を手なずけるには、まず「仮定」や「結論」、さらには「定義」「定理」などをしっかりと理解する必要があります。合同条件はよく覚えているんですが、もっと基本的なことが説明できない人が多いです。学校の授業でも証明の単元に入ると必ず最初にやってはいるんですが、結構あっさりと過ぎていってしまうので、ここが重要だとあまり感じないんですね。なので、このあたりの用語が自分で説明できないという人はここからやり直すべきです。「三辺が等しい三角形が正三角形であることを証明しなさい」なんて言われても証明しようがないですよ。今、なんのこっちゃ?と思った人は要注意です。

次におすすめのトレーニングを紹介します。これは証明問題に限らず図形問題全般に言えることなんですが、「図形は仮定(問題条件)の通りに最初からフリーハンドで書く」ことです。この時、結論は考えなくてOK。例えば、問題に「二等辺三角形の頂角から底辺に垂線を下ろし…」と書いてあれば、問題の図を見ず、自分でその通りに一から書いてみるんです。

つまり、結論を無視して初期条件のみで図を書き、仮定と結論をいったん分離するんですね。そうすることで考えのスタートとゴールが分かりやすくなります。フリーハンドと注文をつけたのは、定規を使うと「きれいな図(教科書と同じ図)を書こう」という余計な意識が働き、図形の感覚(ここが直角ならここはこうなりそうだな…とか)が養われません。なので絶対フリーハンドで書くべきです。で、ちょっと変かなと思ったらまた一から書き直していきます。日頃からこれをやっていると、図形に対する勘が働くようになってきますよ。

そしてなにより、証明は自分で最初から最後まで全部書くことです。最近の教科書や問題集は穴埋め形式になっていることが多いですよね。まあ、分かりやすくという意図なんでしょうが、穴埋めに慣れてしまうと、図からでなく文から考えるようになり、まるで推理パズルのようになってしまいます。穴埋めはあくまでも証明の書き方のルールが分からないという初心者用です。こればかりだと肝心の論理の部分は鍛えられませんので、書き方のルールさえ分かれば穴埋めはすぐに卒業すべきです。そして、その書き方も模範解答を数多く読み込むことでだんだん分かるようになってきます。

最後に、自分が書いた証明がちゃんと論理的につながっているかのチェックが必要です。これはどうしてもセルフチェックだと見落としが出てしまうので、他人の目が必要ですね。もちろん先生に見てもらうのが一番です。

100点取れることを証明しようと思ったら、「ちゃんと努力すれば」という仮定(この場合は過程?)が大事。何事も原因があっての結果だということです。

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