上の図のように，正方形を4つの長方形に区切ったところ，長方形A，B，Cの面積はそれぞれ270，405，540㎠になりました。このとき，長方形Dのまわり長さは何cmですか。

解き方はいろいろありそうです。算数で解くもよし，方程式を使うもよし。

ヒントと解答は下へ。

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正方形という条件をどう生かすかがポイントです。ＡとＢを合わせた長方形とＡとＣを合わせた長方形の長い方の辺の長さが等しいということだから…

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【解答１】

ＡとＢを合わせた部分をＡＢ，ＡとＣを合わせた部分をＡＣとすると，ＡＣの面積：ＡＢの面積＝810：675＝6：5です。ＡＣとＡＢの長辺の長さは等しいので，短辺の長さの比，つまりＡの横：たても6：5であることが分かります。

仮にAの横が6cm，たてが5cmだとすると面積は30㎠。270㎠は9倍なので，たてとよこはそれぞれ3倍になります（相似比と面積比の関係）。よってＡの横は18cm，たては15cmということが分かります。Ａのたてが15cmということはCのたては30cm，Aの横が18cmということはBの横は27cmですから，長方形Dのまわりの長さは(30+27)×2＝114cm。

 

【解答２】

Cの面積がAの2倍ですから，Dの面積はBの2倍の810です。ということは正方形の面積は270+540+405+810=2025です。2025は45の二乗ですから（なんでそんなことが分かるのかって？それを説明すると長くなるのでまた別の機会に…），正方形の1辺が45cmであることが分かります。あとは比例配分でBのよことCのたてを求めます。

 

【解答３】

Ａの横：Ｂの横＝270：405＝2：3

Ａのたて：Ｃのたて＝270：540＝1：2

正方形のたてとよこの長さは等しいので，上の比をそろえると

Ａ横：Ｂ横＝6：9，Ａたて：Ｃたて＝5：10

となり，Ａ横：Ａたて＝6：5

あとは【解答１】と同じです。

 

【解答４】

方程式でも解けますね。

Aの横の長さを\(x\)とすると，\(Aのたて=\frac{270}{x}\)，\(Cのたて=\frac{540}{x}\)，\(Bのよこ=\frac{3x}{2}\)とおけるので，$$\frac{270}{x}+\frac{540}{x}=x+\frac{3x}{2}$$となり，これを解くと$$x=\pm18$$が得られます。もちろん\(x\)は正ですからAのよこは18cmと分かります。

 

【解答１】が思いつけばこれが一番早いかな？【解答２】は2025が45の二乗だと求めることができるのが前提です。中学生ならできるはずですが…。【解答３】がある意味一番素直な解き方ですかね。いかにも中学受験という感じです。【解答４】が一番簡単といえば簡単。ただし，厳密には二次方程式になるので中３以上対象ですね。324が18の二乗だということを覚えていたり，素因数分解で調べることができれば二次方程式を知らなくても答えは出せます。以前の投稿（ハコから飛び出たピザの面積）でも書いたんですけど，数学って便利ですね～。他の解法に比べると圧倒的に頭使ってませんね（笑）。でも，算数は算数でパズルを解いているようで楽しいし。いろんな解き方を考えてみるのも良いですね。