一見それほど難しそうには見えないのですが，そこは灘高。一筋縄ではいきません。素直に解いてもひと工夫が必要です。また，あることに気付けばアッサリ解けます。高校入試の問題ですが，大学入試で出てもおかしくない問題ですね。

解説はこの下

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【解法１】

まずは素直に解いてみましょう。2つの2次方程式の解が1つずつ分かっているので，それぞれ代入してみると

\(25a+5c+b=0\)，\(9b+3c+a=0\)

と，\(a,b,c\)の式が2つできます。未知数3つに対して式2つなので，このままでは解けませんね。ここで一旦詰まってしまうので，目線を変えて\(p,q\)について見てみましょう。

解と係数の関係（注１）に注目すると，

\(5p=\frac{b}{a}\)，\(5+p=-\frac{c}{a}\)，\(3q=\frac{a}{b}\)，\(3+q=-\frac{c}{b}\)

という4つの式ができます。これでも未知数5つに対して式が4つですからやはり式が足りません。困ったな～と思ってよく見てみると，\(\frac{b}{a}\)と\(\frac{a}{b}\)があることに気が付きます。ここで「これって，\(\frac{b}{a}\)が分かれば\(p\)も\(q\)も分かるんちゃう？」と思いつけばもう一息。最初に作った2つの式から\(\frac{b}{a}\)を無理やり作ってしまえばいいんです。

\(a\)は\(0\)ではありませんから，最初の2つの式の両辺をそれぞれ\(a\)で割ると

\(25+\frac{5c}{a}+\frac{b}{a}=0\)，\(\frac{9b}{a}+\frac{3c}{a}+1=0\)

という2つの式ができます。これを\(\frac{b}{a}\)と\(\frac{c}{a}\)の連立方程式として解くと\(\frac{b}{a}=\frac{5}{3}\)が出てきますので，\(5p=\frac{b}{a}=\frac{5}{3}\)より\(p=\frac{1}{3}\)，\(3q=\frac{a}{b}=\frac{3}{5}\)より\(q=\frac{1}{5}\)となり，

\(p+q=\frac{1}{3}+\frac{1}{5}=\frac{8}{15}\)となります。

 

【解法２】

実はもっとアッサリ解ける方法もあるんです。

\(ax^2+cx+b=0\) を①， \(bx^2+cx+a=0\) を②とします。①の解は\(0\)ではありませんので，①の両辺を\(x^2\)でわると，

\(a+c×\frac{1}{x}+b×\frac{1}{x^2}=0\)となり，項の順番を変えると

\(b×\frac{1}{x^2}+c×\frac{1}{x}+a=0\)です。

この式をよく見て下さい。これは，②の式の\(x\)に\(\frac{1}{x}\)を代入したものになってますよね？つまり，①と②の解はお互いに逆数の関係になっているということなんです。よって\(5\)の逆数が\(q\)，\(p\)の逆数が\(3\)ということになり，\(p=\frac{1}{3},q=\frac{1}{5}\)であることがすぐに分かります。

 

※（注１）解と係数の関係

2次方程式\(ax^2+bx+c=0\)の解が\(α\)，\(β\)であるとき，この式は

\(a(x-α)(x-β)=0\)と因数分解されるはずで，これを展開すると

\(ax^2-a(α+β)x+aαβ=0\)となり，\(ax^2+bx+c=0\)と各項の係数を比較すると

\(α+β=-\frac{b}{a}\)，\(αβ=\frac{c}{a}\)となります。

これは厳密には高校で習うことなんですが，特に難関私立を目指す方は知っておきましょう。